Cómo estudiar para un examen de matemáticas (y resolver de verdad los problemas)

Repasar matemáticas tiene una trampa particular. Lees tus apuntes y las soluciones resueltas, cada paso tiene sentido y te sientes preparado. Luego, en el examen, ante una hoja en blanco y una pregunta que no dice de qué tema es, no sabes por dónde empezar. Seguir una solución y producirla son habilidades distintas, y solo se evalúa la segunda.

En resumen: la forma de estudiar para un examen de matemáticas es resolver problemas, muchos, mezclados para que tengas que averiguar qué método necesita cada uno, repartidos en varios días en lugar de concentrados en uno. Usa los ejemplos resueltos para aprender un método y luego retíralos. Lleva un registro de tus errores y corrígelos.

Lo que dice la investigación (y lo que no)

Mezclar tipos de problemas supera a practicarlos en bloques. La mayoría de las series de problemas de los libros de texto machacan el método de la lección que acabas de aprender, así que sabes qué método usar antes de leer la pregunta. En un estudio de laboratorio con estudiantes universitarios, Rohrer y Taylor (2007) hicieron que unos estudiantes aprendieran varios tipos de problemas y luego los practicaran agrupados por tipo o mezclados al azar. Una semana después, el rendimiento era muchísimo mejor tras la práctica mezclada.

El efecto se mantiene en aulas reales. En un estudio con 126 alumnos de séptimo curso, los problemas de práctica se organizaron durante tres meses de modo que las habilidades se aprendieran con práctica intercalada (interleaved practice) o con el enfoque habitual por bloques. En una prueba sin previo aviso, la práctica intercalada dio notas más altas tanto 1 día después como 30 días después, con un efecto mayor a los 30 días (Rohrer et al., 2015). Un ensayo controlado aleatorizado posterior, prerregistrado, en 54 clases de matemáticas de séptimo curso, duró cuatro meses. Un mes después de terminar la práctica, el grupo con práctica intercalada superó al grupo por bloques en una prueba sin previo aviso, un 61 % frente a un 38 % (Rohrer et al., 2020).

Pero el tamaño del beneficio varía. Un metaanálisis de 59 estudios encontró un efecto global moderado de la práctica intercalada, y uno pequeño en los estudios que usaban tareas matemáticas (g = 0,34). La práctica intercalada funcionaba mejor cuando las categorías que se mezclaban se parecían entre sí (Brunmair y Richter, 2019). En una gran revisión de técnicas de estudio, la práctica intercalada se calificó de utilidad moderada, porque sus beneficios solo habían empezado a estudiarse de forma sistemática, mientras que la práctica con pruebas y el espaciado se calificaron de utilidad alta (Dunlosky et al., 2013).

Espaciar supera a hacer más de lo mismo. Rohrer y Taylor (2006) hicieron que unos estudiantes universitarios practicaran un tipo de problema matemático. Repartir diez problemas en dos sesiones separadas por una semana no supuso ninguna diferencia en una prueba una semana después, pero sí una diferencia muy grande cuatro semanas después. En un segundo experimento, hacer nueve problemas en lugar de tres en una sola sesión (sobreaprendizaje) no tuvo efecto en las notas a una o cuatro semanas. En ese estudio, acumular problemas extra del mismo tipo en una sola sentada no ayudó después; repartirlos, sí.

Los ejemplos resueltos ayudan, y luego hay que retirarlos poco a poco. Un metaanálisis de 55 estudios encontró que los ejemplos resueltos tenían un efecto de tamaño medio sobre el rendimiento en matemáticas (g = 0,48), tanto si se usaban para aprender una habilidad como para practicarla (Barbieri et al., 2023). Renkl y sus colegas (2002) encontraron que ir quitando poco a poco pasos de la solución de los ejemplos, hasta que los estudiantes resolvían los problemas por su cuenta, favorecía el aprendizaje, y que funcionaba mejor quitar primero los últimos pasos.

Los errores son útiles cuando los corriges. Los experimentos sobre aprender de los errores indican que cometer errores seguidos de retroalimentación correctiva ayuda al aprendizaje, y que analizar el razonamiento que llevó a un error es crucial (Metcalfe, 2017). Sobre estudiar los errores de otras personas la evidencia es dispar: en clases de álgebra, los ejemplos incorrectos, solos o combinados con correctos, parecían especialmente útiles para la comprensión conceptual (Booth et al., 2013), pero el metaanálisis anterior encontró que los ejemplos correctos por sí solos producían efectos mayores que los incorrectos (Barbieri et al., 2023). Aprender de tus propios errores es la apuesta más segura.

Lo que falta. Los ensayos en el aula sobre la práctica intercalada fueron en séptimo curso, y gran parte del resto procede de estudios de laboratorio. No hemos encontrado estudios controlados de la rutina de repaso completa de más abajo. Es una combinación razonable de estos hallazgos, no algo demostrado como conjunto.

Paso 1: Averigua qué entra en el examen

Consigue el temario o la lista de temas, y haz una lista de cada tipo de problema que puede salir: no solo «integración», sino «integración por sustitución», «por partes», «fracciones parciales». Esta lista guía todo lo demás. Califica cada tipo: lo resuelvo con seguridad, lo resuelvo con una pista, todavía no lo sé resolver.

Reúne problemas de cada tipo: los ejercicios del libro de texto, las hojas de problemas y, sobre todo, exámenes anteriores con sus criterios de corrección o soluciones.

Paso 2: Aprende cada método y luego retira la ayuda

Para un tipo que todavía no sabes resolver:

1. Estudia uno o dos ejemplos resueltos. Tapa cada paso e intenta predecirlo antes de mirar.
2. Prueba un problema parecido en el que te quede el último paso, y luego uno en el que te queden los dos últimos.
3. Resuelve uno desde cero, con la solución oculta hasta que termines.

La guía sobre ejemplos resueltos lo explica con más detalle, incluido cuándo dejar de usar ejemplos.

Lo que no hay que hacer: leer las soluciones y asentir. Si no has producido tú la respuesta, no has practicado lo que evalúa el examen.

Paso 3: Mezcla los tipos de problemas

Cuando sepas resolver cada tipo por separado, deja de practicarlos de uno en uno.

• Crea series mezcladas. Toma problemas de los últimos temas y barájalos. Quita o tapa los títulos de las secciones para que la pregunta no te diga el método.
• Nombra primero el método. Antes de resolver, escribe una línea: «esto es un problema de sustitución, porque…». Equivocarte en eso es el error más útil que puedes cometer al repasar.
• Pon juntos los tipos parecidos. El metaanálisis encontró que el beneficio era mayor cuando lo que se mezclaba se parecía, así que mezcla los que sueles confundir.

La práctica mezclada resulta más difícil y al principio fallarás más. Es lo esperable. Consulta la guía de práctica intercalada para saber más sobre por qué.

Paso 4: Repártelo en varios días

Planifica varias sesiones más cortas durante las semanas anteriores al examen en lugar de una larga. Vuelve a cada tipo de problema más de una vez, con unos días entre medias. Si solo tienes unos pocos días, divide igualmente tu práctica en sesiones con noches de sueño entre ellas; la guía del calendario de repaso explica cómo planificarlo.

Paso 5: Lleva un registro de errores

Cada vez que falles un problema, escribe una línea:

Clasifica los errores por tipos: no sabía el método, elegí el método equivocado, método correcto pero con un despiste (signos, cuentas, copiar mal) y me quedé sin tiempo. Cada tipo necesita una solución distinta. Rehaz cada problema que fallaste unos días después, sin mirar tu intento anterior.

Paso 6: Practica en condiciones de examen

En la última semana o las dos últimas, haz exámenes completos o secciones mezcladas largas con el tiempo real, y solo con la calculadora y el formulario que te dejarán usar. Fíjate en dónde se te va el tiempo. Si un tipo de problema siempre te lleva demasiado, practica ese tipo por separado con un temporizador.

Algunos hábitos para el propio examen:

• Lee la pregunta entera y subraya lo que te pide.
• Escribe cada paso. En muchos exámenes, el desarrollo puede dar puntos aunque el resultado final esté mal; consulta tus criterios de corrección.
• Comprueba que la respuesta tiene sentido: unidades, signos, orden de magnitud.
• Sáltala y vuelve después si llevas más de un par de minutos atascado.

Si lo que falla bajo presión de tiempo son los nervios, consulta ansiedad ante los exámenes.

Errores comunes

• Releer soluciones en lugar de resolver problemas.
• Machacar un tipo cada vez hasta el mismo examen.
• Hacer 30 veces el mismo problema en una sola sentada.
• Pasar por alto los despistes como si «no fueran errores de verdad». Cuestan los mismos puntos.
• No practicar nunca con tiempo, de modo que el ritmo es una sorpresa el día del examen.

Cómo hacerlo en Atheneum

• Guarda juntos problemas y soluciones. Sube las hojas de problemas, los exámenes anteriores y las soluciones al cuaderno de la asignatura, en carpetas por tema. Consulta Subir archivos.
• Guarda tu registro de errores y tus ejemplos con pasos retirados como notas. La pestaña Notas de un cuaderno admite Markdown, incluidas tablas. Consulta Notas en un cuaderno.
• Pide a Athena un problema nuevo. Después de estudiar un ejemplo, pide a Athena un problema parecido con otros números, y que se guarde la solución hasta que lo hayas intentado. Comprueba sus cálculos, porque los tutores con IA pueden cometer errores de cálculo; la guía sobre estudiar con un tutor con IA explica cómo.
• Comprueba conceptos y elección de método con cuestionarios. Los cuestionarios de Repaso, creados a partir de todo el cuaderno, mezclan preguntas de opción múltiple y respuestas escritas cortas, así que pueden comprobar si sabes qué método encaja y por qué. No sustituyen a resolver problemas en papel. Consulta Cuestionarios.
• Cronometra tu práctica. El temporizador Pomodoro te deja fijar la duración del enfoque entre 1 y 180 minutos, para que puedas ajustarla al tiempo de un examen.
• Espacia tus sesiones. Pon en el calendario las sesiones de práctica y el examen para que queden repartidas. Consulta Calendario.

Para empezar

1. Haz una lista de cada tipo de problema del examen y califica cada uno.
2. Para tu tipo más flojo, estudia dos ejemplos resueltos y luego resuelve problemas con cada vez menos ayuda.
3. Crea una serie mezclada de 10 a 15 problemas de distintos temas, con los títulos ocultos.
4. Nombra el método antes de resolver cada uno y luego comprueba.
5. Anota cada respuesta incorrecta con su causa, y rehaz esos problemas en unos días.
6. En la última semana, haz al menos un examen completo con el tiempo del examen.

Las matemáticas se aprenden haciéndolas. Una hora resolviendo problemas mezclados te enseñará más que una tarde leyendo soluciones perfectas.

Sigue leyendo: cómo estudiar para un examen el día antes, para las últimas 24 horas.

Fuentes

• Rohrer, D., & Taylor, K. (2007). The shuffling of mathematics problems improves learning. Instructional Science, 35(6), 481–498. https://doi.org/10.1007/s11251-007-9015-8
• Rohrer, D., Dedrick, R. F., & Stershic, S. (2015). Interleaved practice improves mathematics learning. Journal of Educational Psychology, 107(3), 900–908. https://doi.org/10.1037/edu0000001
• Rohrer, D., Dedrick, R. F., Hartwig, M. K., & Cheung, C.-N. (2020). A randomized controlled trial of interleaved mathematics practice. Journal of Educational Psychology, 112(1), 40–52. https://doi.org/10.1037/edu0000367
• Brunmair, M., & Richter, T. (2019). Similarity matters: A meta-analysis of interleaved learning and its moderators. Psychological Bulletin, 145(11), 1029–1052. https://doi.org/10.1037/bul0000209
• Dunlosky, J., Rawson, K. A., Marsh, E. J., Nathan, M. J., & Willingham, D. T. (2013). Improving students' learning with effective learning techniques: Promising directions from cognitive and educational psychology. Psychological Science in the Public Interest, 14(1), 4–58. https://doi.org/10.1177/1529100612453266
• Rohrer, D., & Taylor, K. (2006). The effects of overlearning and distributed practise on the retention of mathematics knowledge. Applied Cognitive Psychology, 20(9), 1209–1224. https://doi.org/10.1002/acp.1266
• Barbieri, C. A., Miller-Cotto, D., Clerjuste, S. N., & Chawla, K. (2023). A meta-analysis of the worked examples effect on mathematics performance. Educational Psychology Review, 35, 11. https://doi.org/10.1007/s10648-023-09745-1
• Renkl, A., Atkinson, R. K., Maier, U. H., & Staley, R. (2002). From example study to problem solving: Smooth transitions help learning. The Journal of Experimental Education, 70(4), 293–315. https://doi.org/10.1080/00220970209599510
• Metcalfe, J. (2017). Learning from errors. Annual Review of Psychology, 68, 465–489. https://doi.org/10.1146/annurev-psych-010416-044022
• Booth, J. L., Lange, K. E., Koedinger, K. R., & Newton, K. J. (2013). Using example problems to improve student learning in algebra: Differentiating between correct and incorrect examples. Learning and Instruction, 25, 24–34. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2012.11.002