So lernst du für eine Matheprüfung (und löst die Aufgaben wirklich)

Beim Wiederholen für Mathe gibt es eine besondere Falle. Du liest deine Notizen und die ausgearbeiteten Lösungen durch, jeder Schritt ergibt Sinn, und du fühlst dich bereit. Dann sitzt du in der Prüfung vor einem leeren Blatt und einer Aufgabe, die nicht verrät, aus welchem Kapitel sie stammt, und kommst nicht in Gang. Einer Lösung zu folgen und eine hervorzubringen sind verschiedene Fähigkeiten, und geprüft wird nur die zweite.

Das Fazit: Für eine Matheprüfung lernst du, indem du Aufgaben löst, viele davon, gemischt, sodass du herausfinden musst, welches Verfahren jede braucht, verteilt über mehrere Tage statt gepaukt an einem. Nutz Lösungsbeispiele, um ein Verfahren zu lernen, und nimm sie dann weg. Halt deine Fehler fest und behebe sie.

Was die Forschung sagt (und was nicht)

Aufgabentypen zu mischen schlägt Üben in Blöcken. Die meisten Aufgabensammlungen in Lehrbüchern drillen das Verfahren aus der Lektion, die du gerade gelernt hast, du weißt also schon, welches Verfahren du nutzen musst, bevor du die Aufgabe liest. In einer Laborstudie mit Studierenden ließen Rohrer und Taylor (2007) die Teilnehmenden mehrere Arten von Aufgaben lernen und dann entweder nach Typ geblockt oder zufällig gemischt üben. Eine Woche später war die Leistung nach gemischtem Üben weit besser.

Der Effekt hält auch in echten Klassenzimmern. In einer Studie mit 126 Schülerinnen und Schülern der siebten Klasse wurden Übungsaufgaben über drei Monate so angeordnet, dass Fertigkeiten entweder verschachtelt (interleaved) oder wie üblich in Blöcken geübt wurden. Bei einem unangekündigten Test führte verschachteltes Üben sowohl 1 Tag als auch 30 Tage später zu besseren Ergebnissen, mit einem größeren Effekt nach 30 Tagen (Rohrer et al., 2015). Eine spätere präregistrierte, randomisierte kontrollierte Studie in 54 Mathe-Klassen der siebten Stufe lief vier Monate. Einen Monat nach dem Ende des Übens schnitt die verschachtelte Gruppe in einem unangekündigten Test besser ab als die geblockte, 61 % gegenüber 38 % (Rohrer et al., 2020).

Aber die Größe des Nutzens schwankt. Eine Metaanalyse von 59 Studien fand insgesamt einen moderaten Effekt des verschachtelten Lernens und einen kleinen bei Studien mit mathematischen Aufgaben (g = 0,34). Verschachteln wirkte am besten, wenn die gemischten Kategorien einander ähnlich waren (Brunmair & Richter, 2019). In einer großen Übersicht über Lerntechniken wurde verschachteltes Üben als mäßig nützlich eingestuft, weil seine Vorteile gerade erst systematisch untersucht wurden, während Übungstests und verteiltes Lernen als sehr nützlich eingestuft wurden (Dunlosky et al., 2013).

Verteilen schlägt mehr vom Gleichen. Rohrer und Taylor (2006) ließen Studierende eine Art von Matheaufgabe üben. Zehn Aufgaben auf zwei Sitzungen im Abstand einer Woche zu verteilen machte bei einem Test eine Woche später keinen Unterschied, vier Wochen später aber einen sehr großen. In einem zweiten Experiment hatte es keinen Effekt auf die Ergebnisse nach einer oder vier Wochen, in einer Sitzung neun statt drei Aufgaben zu machen (Überlernen). In dieser Studie half es später nicht, zusätzliche Aufgaben desselben Typs in eine Sitzung zu packen; sie zu verteilen schon.

Lösungsbeispiele helfen, dann musst du sie ausblenden. Eine Metaanalyse von 55 Studien fand, dass Lösungsbeispiele einen mittleren Effekt auf die Mathe-Leistung hatten (g = 0,48), ob man sie nutzte, um eine Fertigkeit zu lernen oder zu üben (Barbieri et al., 2023). Renkl und Kollegen (2002) fanden, dass es das Lernen förderte, Lösungsschritte nach und nach aus Beispielen zu entfernen, bis die Studierenden Aufgaben selbst lösten, und dass es besser wirkte, die letzten Schritte zuerst zu entfernen.

Fehler sind nützlich, wenn du sie korrigierst. Experimente zum Lernen aus Fehlern deuten darauf hin, dass Fehler mit anschließendem korrigierendem Feedback das Lernen fördern und dass es entscheidend ist, das Denken zu analysieren, das zum Fehler geführt hat (Metcalfe, 2017). Zum Lernen aus den Fehlern anderer sind die Belege gemischt: In Algebra-Klassen schienen falsche Beispiele, allein oder kombiniert mit richtigen, besonders hilfreich für das konzeptuelle Verständnis (Booth et al., 2013), aber die Metaanalyse oben fand, dass richtige Beispiele allein größere Effekte hatten als falsche (Barbieri et al., 2023). Aus deinen eigenen Fehlern zu lernen ist die sicherere Wahl.

Was fehlt. Die Studien zum Verschachteln im Unterricht fanden in der siebten Klasse statt, und vieles andere stammt aus Laborstudien. Wir haben keine kontrollierten Studien zur vollständigen Wiederholungsroutine unten gefunden. Sie ist eine vernünftige Kombination dieser Befunde, nicht etwas, das als Paket bewiesen ist.

Schritt 1: Finde heraus, was in der Prüfung drankommt

Besorg dir den Modulplan oder die Themenliste und liste jeden Aufgabentyp auf, der vorkommen kann: nicht nur „Integration“, sondern „Integration durch Substitution“, „partielle Integration“, „Partialbruchzerlegung“. Diese Liste bestimmt alles andere. Bewerte jeden Typ: kann ich zuverlässig lösen, kann ich mit einem Hinweis lösen, kann ich noch nicht lösen.

Sammle Aufgaben für jeden Typ: die Übungen aus dem Lehrbuch, Übungsblätter und besonders Altklausuren mit Bewertungsschema oder Lösungen.

Schritt 2: Lern jedes Verfahren und blende dann die Hilfe aus

Bei einem Typ, den du noch nicht lösen kannst:

1. Arbeite ein oder zwei Lösungsbeispiele durch. Deck jeden Schritt ab und sag ihn vorher, bevor du hinschaust.
2. Versuch eine ähnliche Aufgabe, bei der der letzte Schritt für dich übrig bleibt, dann eine, bei der die letzten zwei übrig bleiben.
3. Lös eine von Grund auf, mit verdeckter Lösung, bis du fertig bist.

Der Ratgeber zu Lösungsbeispielen beschreibt das genauer, auch wann du aufhören solltest, Beispiele zu nutzen.

Was du nicht tun solltest: die Lösungen lesen und nicken. Wenn du die Antwort nicht selbst hervorgebracht hast, hast du nicht geübt, was die Prüfung testet.

Schritt 3: Misch die Aufgabentypen

Sobald du jeden Typ einzeln lösen kannst, hör auf, sie einzeln zu üben.

• Stell gemischte Sammlungen zusammen. Nimm Aufgaben aus den letzten Themen und misch sie. Entfern oder verdeck die Abschnittsüberschriften, damit die Aufgabe dir das Verfahren nicht verrät.
• Benenne zuerst das Verfahren. Schreib vor dem Lösen eine Zeile: „Das ist eine Substitutionsaufgabe, weil …“. Hier danebenzuliegen ist der nützlichste Fehler, den du beim Wiederholen machen kannst.
• Stell ähnliche Typen nebeneinander. Die Metaanalyse fand den größten Nutzen, wenn die gemischten Dinge einander ähnlich waren. Misch also die, die du oft verwechselst.

Gemischtes Üben fühlt sich schwerer an, und anfangs hast du mehr falsch. Das ist zu erwarten. Mehr zum Warum steht im Ratgeber zu Interleaving.

Schritt 4: Verteil es über Tage

Plan in den Wochen vor der Prüfung mehrere kürzere Einheiten statt einer langen. Komm auf jeden Aufgabentyp mehr als einmal zurück, mit ein paar Tagen dazwischen. Wenn du nur ein paar Tage hast, teil dein Üben trotzdem in Einheiten mit Schlaf dazwischen auf; der Ratgeber zum Lernplan zeigt, wie du das planst.

Schritt 5: Führ ein Fehlerprotokoll

Jedes Mal, wenn du eine Aufgabe falsch hast, schreib eine Zeile:

Ordne Fehler nach Art: Verfahren nicht gekannt, falsches Verfahren gewählt, Verfahren richtig, aber verrutscht (Vorzeichen, Rechnen, Abschreiben) und Zeit ausgegangen. Jede Art braucht eine andere Lösung. Mach jede Aufgabe, die du falsch hattest, ein paar Tage später neu, ohne auf deinen vorigen Versuch zu schauen.

Schritt 6: Übe unter Prüfungsbedingungen

In der letzten oder den letzten zwei Wochen mach ganze Klausuren oder lange gemischte Abschnitte mit dem echten Zeitlimit, nur mit dem Taschenrechner und der Formelsammlung, die erlaubt sein werden. Achte darauf, wohin die Zeit geht. Wenn ein Aufgabentyp immer zu lange dauert, übe diesen Typ einzeln mit einem Timer.

Ein paar Gewohnheiten für die Prüfung selbst:

• Lies die ganze Aufgabe und unterstreich, wonach gefragt ist.
• Schreib jeden Schritt auf. In vielen Prüfungen bringt der Rechenweg Punkte, auch wenn das Endergebnis falsch ist; schau in deine Bewertungsschemata.
• Prüf, ob das Ergebnis Sinn ergibt: Einheiten, Vorzeichen, Größenordnung.
• Überspring und komm zurück, wenn du länger als ein paar Minuten feststeckst.

Wenn unter Zeitdruck die Nerven das Problem sind, siehe Prüfungsangst.

Häufige Fehler

• Lösungen nochmal lesen, statt Aufgaben zu lösen.
• Einen Typ nach dem anderen drillen, bis direkt vor die Prüfung.
• 30 Mal dieselbe Aufgabe in einer Sitzung machen.
• Flüchtigkeitsfehler als „keine echten Fehler“ abtun. Sie kosten dieselben Punkte.
• Nie auf Zeit üben, sodass das Tempo am Prüfungstag eine Überraschung ist.

So geht es in Atheneum

• Halt Aufgaben und Lösungen zusammen. Lad Übungsblätter, Altklausuren und Lösungen in das Notizbuch des Fachs hoch, in Ordnern nach Thema. Siehe Dateien hochladen.
• Halt dein Fehlerprotokoll und ausgeblendete Beispiele als Notizen fest. Der Tab Notizen eines Notizbuchs nimmt Markdown an, auch Tabellen. Siehe Notizen in einem Notizbuch.
• Bitte Athena um eine neue Aufgabe. Bitte Athena, nachdem du ein Beispiel durchgearbeitet hast, um eine ähnliche Aufgabe mit anderen Zahlen und darum, die Lösung zurückzuhalten, bis du es versucht hast. Prüf ihren Rechenweg, denn KI-Tutoren können sich verrechnen; der Ratgeber Lernen mit einer KI-Tutorin erklärt, wie.
• Prüf Konzepte und Verfahrenswahl mit Quizzen. Quizze in Wiederholen, aus dem ganzen Notizbuch erstellt, mischen Multiple Choice und kurze schriftliche Antworten. So können sie prüfen, ob du weißt, welches Verfahren passt und warum. Sie ersetzen nicht das Lösen von Aufgaben auf Papier. Siehe Quizze.
• Nimm die Zeit beim Üben. Mit dem Pomodoro-Timer kannst du die Fokuslänge von 1 bis 180 Minuten einstellen und so das Zeitlimit einer Klausur nachbilden.
• Verteil deine Einheiten. Trag Übungseinheiten und die Prüfung in den Kalender ein, damit sie verteilt sind. Siehe Kalender.

Schnellstart

1. Liste jeden Aufgabentyp der Prüfung auf und bewerte jeden.
2. Arbeite für deinen schwächsten Typ zwei Lösungsbeispiele durch und lös dann Aufgaben mit immer weniger Hilfe.
3. Stell eine gemischte Sammlung von 10 bis 15 Aufgaben aus verschiedenen Themen zusammen, Überschriften verdeckt.
4. Benenne vor jeder Aufgabe das Verfahren und prüf dann.
5. Halt jede falsche Antwort mit ihrer Ursache fest und mach diese Aufgaben in ein paar Tagen neu.
6. Mach in der letzten Woche mindestens eine ganze Klausur mit Prüfungszeit.

Mathe lernt man, indem man sie macht. Eine Stunde gemischter Aufgaben bringt dir mehr bei als ein Abend, an dem du perfekte Lösungen liest.

Lies als Nächstes: So lernst du am Tag vor dem Test, für die letzten 24 Stunden.

Quellen

• Rohrer, D., & Taylor, K. (2007). The shuffling of mathematics problems improves learning. Instructional Science, 35(6), 481–498. https://doi.org/10.1007/s11251-007-9015-8
• Rohrer, D., Dedrick, R. F., & Stershic, S. (2015). Interleaved practice improves mathematics learning. Journal of Educational Psychology, 107(3), 900–908. https://doi.org/10.1037/edu0000001
• Rohrer, D., Dedrick, R. F., Hartwig, M. K., & Cheung, C.-N. (2020). A randomized controlled trial of interleaved mathematics practice. Journal of Educational Psychology, 112(1), 40–52. https://doi.org/10.1037/edu0000367
• Brunmair, M., & Richter, T. (2019). Similarity matters: A meta-analysis of interleaved learning and its moderators. Psychological Bulletin, 145(11), 1029–1052. https://doi.org/10.1037/bul0000209
• Dunlosky, J., Rawson, K. A., Marsh, E. J., Nathan, M. J., & Willingham, D. T. (2013). Improving students' learning with effective learning techniques: Promising directions from cognitive and educational psychology. Psychological Science in the Public Interest, 14(1), 4–58. https://doi.org/10.1177/1529100612453266
• Rohrer, D., & Taylor, K. (2006). The effects of overlearning and distributed practise on the retention of mathematics knowledge. Applied Cognitive Psychology, 20(9), 1209–1224. https://doi.org/10.1002/acp.1266
• Barbieri, C. A., Miller-Cotto, D., Clerjuste, S. N., & Chawla, K. (2023). A meta-analysis of the worked examples effect on mathematics performance. Educational Psychology Review, 35, 11. https://doi.org/10.1007/s10648-023-09745-1
• Renkl, A., Atkinson, R. K., Maier, U. H., & Staley, R. (2002). From example study to problem solving: Smooth transitions help learning. The Journal of Experimental Education, 70(4), 293–315. https://doi.org/10.1080/00220970209599510
• Metcalfe, J. (2017). Learning from errors. Annual Review of Psychology, 68, 465–489. https://doi.org/10.1146/annurev-psych-010416-044022
• Booth, J. L., Lange, K. E., Koedinger, K. R., & Newton, K. J. (2013). Using example problems to improve student learning in algebra: Differentiating between correct and incorrect examples. Learning and Instruction, 25, 24–34. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2012.11.002