Comment réviser un examen de maths (et vraiment résoudre les problèmes)

Les révisions de maths comportent un piège particulier. Vous relisez vos notes et les corrigés, chaque étape a du sens, et vous vous sentez prêt. Puis, à l’examen, face à une page blanche et à une question qui ne dit pas de quel chapitre elle vient, vous n’arrivez pas à démarrer. Suivre une solution et en produire une sont deux compétences différentes, et seule la seconde est évaluée.

L’essentiel : pour réviser un examen de maths, il faut résoudre des problèmes, beaucoup, mélangés pour que vous deviez déterminer quelle méthode chacun demande, et étalés sur plusieurs jours plutôt que concentrés en un seul. Utilisez les exemples résolus pour apprendre une méthode, puis retirez-les. Gardez une trace de vos erreurs et corrigez-les.

Ce que dit la recherche (et ce qu’elle ne dit pas)

Mélanger les types de problèmes bat la pratique par blocs. La plupart des séries d’exercices des manuels font répéter la méthode de la leçon qu’on vient d’apprendre : vous savez donc quelle méthode utiliser avant même de lire la question. Dans une étude en laboratoire avec des étudiants, Rohrer et Taylor (2007) ont fait apprendre plusieurs types de problèmes, puis les ont fait pratiquer soit par blocs de même type, soit mélangés au hasard. Une semaine plus tard, les résultats étaient considérablement meilleurs après la pratique mélangée.

L’effet tient dans de vraies classes. Dans une étude avec 126 élèves de cinquième (seventh grade), les exercices d’entraînement étaient organisés sur trois mois pour que les compétences soient apprises soit par pratique entrelacée, soit par l’approche habituelle par blocs. À un test non annoncé, la pratique entrelacée donnait de meilleurs scores aussi bien 1 jour que 30 jours plus tard, avec un effet plus grand à 30 jours (Rohrer et al., 2015). Un essai contrôlé randomisé ultérieur, préenregistré, a été mené pendant quatre mois dans 54 classes de mathématiques de cinquième. Un mois après la fin de l’entraînement, le groupe entrelacé dépassait le groupe par blocs à un test non annoncé, 61 % contre 38 % (Rohrer et al., 2020).

Mais l’ampleur du bénéfice varie. Une méta-analyse de 59 études a trouvé un effet d’entrelacement modéré dans l’ensemble, et faible pour les études utilisant des tâches mathématiques (g = 0,34). L’entrelacement marchait le mieux quand les catégories mélangées se ressemblaient (Brunmair & Richter, 2019). Dans une grande revue des techniques d’étude, la pratique entrelacée a été jugée moyennement utile, parce que ses bénéfices commençaient seulement à être étudiés de façon systématique, tandis que l’auto-évaluation et l’espacement ont été jugés très utiles (Dunlosky et al., 2013).

Espacer bat le fait d’en faire plus d’un coup. Rohrer et Taylor (2006) ont fait pratiquer un type de problème mathématique à des étudiants. Répartir dix problèmes sur deux séances espacées d’une semaine ne changeait rien à un test une semaine plus tard, mais faisait une très grande différence quatre semaines plus tard. Dans une seconde expérience, faire neuf problèmes au lieu de trois en une séance (surapprentissage) n’avait aucun effet sur les scores une ou quatre semaines plus tard. Dans cette étude, accumuler des problèmes supplémentaires du même type en une séance n’aidait pas par la suite ; les étaler, si.

Les exemples résolus aident, puis il faut les estomper. Une méta-analyse de 55 études a montré que les exemples résolus avaient un effet moyen sur les résultats en maths (g = 0,48), qu’ils servent à apprendre une compétence ou à s’y entraîner (Barbieri et al., 2023). Renkl et ses collègues (2002) ont constaté que retirer progressivement des étapes de solution aux exemples, jusqu’à ce que les étudiants résolvent les problèmes seuls, favorisait l’apprentissage, et qu’il valait mieux retirer d’abord les dernières étapes.

Les erreurs sont utiles quand on les corrige. Les expériences sur l’apprentissage par l’erreur indiquent que faire des erreurs suivies d’un retour correctif aide à apprendre, et qu’analyser le raisonnement qui a mené à une erreur est essentiel (Metcalfe, 2017). Sur l’étude des erreurs des autres, les preuves sont mitigées : dans des classes d’algèbre, les exemples incorrects, seuls ou combinés avec des exemples corrects, semblaient particulièrement utiles pour la compréhension conceptuelle (Booth et al., 2013), mais la méta-analyse ci-dessus a trouvé que les exemples corrects seuls produisaient des effets plus grands que les exemples incorrects (Barbieri et al., 2023). Apprendre de ses propres erreurs est le pari le plus sûr.

Ce qui manque. Les essais d’entrelacement en classe portaient sur des élèves de cinquième, et une grande partie du reste vient d’études en laboratoire. Nous n’avons trouvé aucune étude contrôlée de la routine de révision complète ci-dessous. C’est une combinaison raisonnable de ces résultats, pas quelque chose de prouvé en bloc.

Étape 1 : savoir ce qui tombe à l’examen

Procurez-vous le programme ou la liste des notions, et listez chaque type de problème qui peut tomber : pas seulement « l’intégration », mais « l’intégration par changement de variable », « par parties », « par décomposition en éléments simples ». Cette liste guide tout le reste. Évaluez chaque type : je sais le résoudre de façon fiable, je sais le résoudre avec un rappel, je ne sais pas encore le résoudre.

Rassemblez des problèmes pour chaque type : les exercices du manuel, les feuilles d’exercices et surtout les annales avec leurs barèmes ou corrigés.

Étape 2 : apprendre chaque méthode, puis retirer l’aide

Pour un type que vous ne savez pas encore résoudre :

1. Étudiez un ou deux exemples résolus. Cachez chaque étape et devinez-la avant de regarder.
2. Essayez un problème semblable dont la dernière étape vous est laissée, puis un dont les deux dernières étapes vous sont laissées.
3. Résolvez-en un en partant de zéro, la solution cachée jusqu’à ce que vous ayez fini.

Le guide sur les exemples résolus détaille cela, y compris quand arrêter d’utiliser des exemples.

Ce qu’il ne faut pas faire : lire les corrigés en hochant la tête. Si vous n’avez pas produit la réponse vous-même, vous ne vous êtes pas entraîné à ce que l’examen évalue.

Étape 3 : mélanger les types de problèmes

Une fois que vous savez résoudre chaque type isolément, arrêtez de les pratiquer un par un.

• Construisez des séries mélangées. Prenez des problèmes des derniers chapitres et mélangez-les. Retirez ou cachez les titres de section pour que la question ne vous donne pas la méthode.
• Nommez d’abord la méthode. Avant de résoudre, écrivez une ligne : « c’est un problème de changement de variable, parce que… ». Se tromper à cette étape est l’erreur la plus utile que vous puissiez faire en révisant.
• Mettez côte à côte les types semblables. La méta-analyse a trouvé que le bénéfice était le plus grand quand ce qu’on mélange se ressemble : mélangez donc ceux que vous avez tendance à confondre.

La pratique mélangée paraît plus difficile et vous ferez plus d’erreurs au début. C’est normal. Voyez le guide sur l’entrelacement pour comprendre pourquoi.

Étape 4 : étaler sur plusieurs jours

Prévoyez plusieurs séances plus courtes dans les semaines qui précèdent l’examen plutôt qu’une seule longue. Revenez sur chaque type de problème plus d’une fois, à quelques jours d’intervalle. Si vous n’avez que quelques jours, découpez quand même votre pratique en séances séparées par une nuit de sommeil ; le guide du planning de révision montre comment le planifier.

Étape 5 : tenir un journal d’erreurs

Chaque fois que vous ratez un problème, écrivez une ligne :

Classez les erreurs par type : méthode inconnue, mauvaise méthode choisie, bonne méthode mais faute d’inattention (signes, calcul, recopie) et manque de temps. Chaque type demande un remède différent. Refaites quelques jours plus tard chaque problème raté, sans regarder votre tentative précédente.

Étape 6 : s’entraîner en conditions d’examen

Dans la ou les deux dernières semaines, faites des sujets complets ou de longues parties mélangées dans le temps réel imparti, avec seulement la calculatrice et le formulaire autorisés. Notez où passe le temps. Si un type de problème prend toujours trop longtemps, entraînez-vous sur ce type seul, chronomètre en main.

Quelques habitudes pour l’examen lui-même :

• Lisez toute la question et soulignez ce qui est demandé.
• Écrivez chaque étape. Dans beaucoup d’examens, le raisonnement peut rapporter des points même si le résultat final est faux ; vérifiez dans vos barèmes.
• Vérifiez que le résultat a du sens : unités, signes, ordre de grandeur.
• Passez et revenez si vous bloquez plus de quelques minutes.

Si c’est le trac qui vous fait perdre vos moyens sous la pression du temps, voyez l’anxiété d’examen.

Erreurs courantes

• Relire des corrigés au lieu de résoudre des problèmes.
• Répéter un type à la fois jusqu’à l’examen.
• Faire 30 fois le même problème en une séance.
• Ignorer les fautes d’inattention comme si ce n’étaient « pas de vraies erreurs ». Elles coûtent autant de points.
• Ne jamais s’entraîner en temps limité, si bien que le rythme est une surprise le jour J.

Le faire dans Atheneum

• Gardez énoncés et corrigés ensemble. Importez feuilles d’exercices, annales et corrigés dans le carnet de la matière, dans des dossiers par chapitre. Voyez Importer des fichiers.
• Gardez votre journal d’erreurs et vos exemples estompés sous forme de notes. La section Notes d’un carnet accepte le Markdown, tableaux compris. Voyez Notes dans un carnet.
• Demandez un nouveau problème à Athena. Après avoir étudié un exemple, demandez à Athena un problème semblable avec d’autres valeurs, et de garder la solution pour elle jusqu’à ce que vous ayez essayé. Vérifiez ses calculs, car les tuteurs IA peuvent faire des erreurs de calcul ; le guide sur l’étude avec un tuteur IA explique comment.
• Vérifiez les notions et le choix de méthode avec des quiz. Les quiz de Révision, créés à partir de tout le carnet, mélangent QCM et réponses écrites courtes : ils peuvent donc vérifier si vous savez quelle méthode convient et pourquoi. Ils ne remplacent pas la résolution de problèmes sur papier. Voyez Quiz.
• Chronométrez votre entraînement. Le minuteur Pomodoro vous permet de régler la durée de concentration de 1 à 180 minutes, pour l’adapter au temps imparti d’un sujet.
• Espacez vos séances. Placez les séances d’entraînement et l’examen dans le calendrier pour les étaler. Voyez Calendrier.

Pour commencer

1. Listez chaque type de problème de l’examen et évaluez-les.
2. Pour votre type le plus faible, étudiez deux exemples résolus, puis résolvez des problèmes avec de moins en moins d’aide.
3. Construisez une série mélangée de 10 à 15 problèmes de différents chapitres, titres cachés.
4. Nommez la méthode avant de résoudre chacun, puis vérifiez.
5. Notez chaque réponse fausse avec sa cause, et refaites ces problèmes quelques jours plus tard.
6. Dans la dernière semaine, faites au moins un sujet complet en temps réel.

Les maths s’apprennent en en faisant. Une heure à résoudre des problèmes mélangés vous apprendra plus qu’une soirée à lire des corrigés parfaits.

À lire ensuite : comment réviser la veille d’un examen, pour les dernières 24 heures.

Sources

• Rohrer, D., & Taylor, K. (2007). The shuffling of mathematics problems improves learning. Instructional Science, 35(6), 481–498. https://doi.org/10.1007/s11251-007-9015-8
• Rohrer, D., Dedrick, R. F., & Stershic, S. (2015). Interleaved practice improves mathematics learning. Journal of Educational Psychology, 107(3), 900–908. https://doi.org/10.1037/edu0000001
• Rohrer, D., Dedrick, R. F., Hartwig, M. K., & Cheung, C.-N. (2020). A randomized controlled trial of interleaved mathematics practice. Journal of Educational Psychology, 112(1), 40–52. https://doi.org/10.1037/edu0000367
• Brunmair, M., & Richter, T. (2019). Similarity matters: A meta-analysis of interleaved learning and its moderators. Psychological Bulletin, 145(11), 1029–1052. https://doi.org/10.1037/bul0000209
• Dunlosky, J., Rawson, K. A., Marsh, E. J., Nathan, M. J., & Willingham, D. T. (2013). Improving students' learning with effective learning techniques: Promising directions from cognitive and educational psychology. Psychological Science in the Public Interest, 14(1), 4–58. https://doi.org/10.1177/1529100612453266
• Rohrer, D., & Taylor, K. (2006). The effects of overlearning and distributed practise on the retention of mathematics knowledge. Applied Cognitive Psychology, 20(9), 1209–1224. https://doi.org/10.1002/acp.1266
• Barbieri, C. A., Miller-Cotto, D., Clerjuste, S. N., & Chawla, K. (2023). A meta-analysis of the worked examples effect on mathematics performance. Educational Psychology Review, 35, 11. https://doi.org/10.1007/s10648-023-09745-1
• Renkl, A., Atkinson, R. K., Maier, U. H., & Staley, R. (2002). From example study to problem solving: Smooth transitions help learning. The Journal of Experimental Education, 70(4), 293–315. https://doi.org/10.1080/00220970209599510
• Metcalfe, J. (2017). Learning from errors. Annual Review of Psychology, 68, 465–489. https://doi.org/10.1146/annurev-psych-010416-044022
• Booth, J. L., Lange, K. E., Koedinger, K. R., & Newton, K. J. (2013). Using example problems to improve student learning in algebra: Differentiating between correct and incorrect examples. Learning and Instruction, 25, 24–34. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2012.11.002